Top 6 외분점 내분점 공식 Quick Answer

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내분점과 외분점 (개념+공식+수학문제)

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| 수직선 위의 내분점과 외분점

수직선 위의 선분을 이루는 두 점을 기준으로 거리가 m:n의 비를 가질 때,

선분 안에 있다면 내분점

선분 밖에 있다면 외분점이라고 부릅니다.

(1) 내분점

선분 AB를 내분하는 내분점 P에 대하여

점 P는 선분 AB 안에 있고,

(선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족합니다.

이 때 점 P의 좌표는

입니다.

예) 점 A(-3), 점 B(5)를 1:3으로 내분하는 점 P의 좌표는

{(-3)×3 + 5×1}÷(1+3)

= (-4)÷4

= -1

따라서 점 P의 좌표는 P(-1)

(2) 외분점

선분 AB를 외분하는 점 P에 대하여

점 P는 선분 AB 밖에 있습니다.

선분 위에 위치한 내분점과는 다른 특징을 보입니다.

하지만

(선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족한다는 점은

공통점입니다.

이 때 외분점 P의 좌표는

로, 내분점 공식에서 덧셈기호(+)를 뺄셈기호(-)로 바꾼 모습입니다.

예) 점 A(1), 점 B(7)을 2:5로 외분하는 점 P의 좌표는

{(2×7)-(5×1)}÷(2-5)

=(14-5)÷(-3)

=9÷(-3)

=-3

따라서 점 P의 좌표는 P(-3)

| 좌표평면 위의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 내분점과 외분점은 수직선의 것과 같은 방법으로 구합니다.

다만 좌표평면은 두 축을 갖기 때문에

x좌표와 y좌표를 각각 구해야 합니다.

좌표평면 위의 내분점

좌표평면 위의 외분점

예)

좌표평면 위의 점 A(4, -1), B(0,9)를 이은 선분 AB를 1:3으로 외분하는 점 P의 좌표는

i) x좌표 : {(1×0)-(3×4)}÷(1-3)

=(-12)÷(-2)

=6

ii) y좌표 : {(1×9)-(3×(-1))}÷(1-3)

=12÷(-2)

=-6

따라서 점 P의 좌표는 P(6,-6)

| 학습지 미리보기

| 첨부파일

2020SP H1-21.pdf 0.13MB

| 닫는 말

내분점과 외분점은 수직선이나 좌표평면에서 선분을 통해 좌표를 구할 때 필요한 개념입니다.

공식이 복잡한 편이기 때문에 무엇을 이야기하고 있는지 숙지한 후,

내분점과 외분점의 좌표를 구해봅시다.

이번 학습지는 좌표평면 위의 선분을 내분 또는 외분하는 점의 좌표를 구하는 문제

20문항으로 준비했습니다.

x좌표와 y좌표를 차례대로 구한 후,

내분점과 외분점을 찾아봅시다.

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내분점과 외분점

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선분 AB를 2:1로 내분하는 점과 외분하는 점

선분 AB를 1:2로 내분하는 점과 외분하는 점

선분 AB를 3:1로 내분하는 점과 외분하는 점

선분 AB를 1:3으로 내분하는 점과 외분하는 점

선분 AB를 3:2로 내분하는 점과 외분하는 점

선분 AB를 2:3으로 내분하는 점과 외분하는 점

문제1)

두 점 A(2), B(9)를 2:1로 내분하는 점과 외분하는 점은?

초딩식으로 풀어보면

전체를 3으로 나누면 한칸의 길이는

내분점은 A(2)에서 두 칸을 가면 되고

외분점은 B(9)에서 7을 가면 됩니다.

고딩공식으로 풀어보면

내분점은

외분점은

문제2)

두 점 A(2), B(9)를 1:2로 내분하는 점과 외분하는 점은?

초딩식으로 풀어보면

전체를 3으로 나누면 한칸의 길이는

내분점은 A(2)에서 한칸만 가면 되고

외분점은 A(2)에서 7을 빼면 됩니다.

고딩공식으로 풀어보면

내분점은

외분점은

문제3)

두 점 A(2), B(9)를 3:1로 내분하는 점과 외분하는 점은?

초딩식으로 풀어보면

전체를 4로 나누면 한칸의 길이는

내분점은 A(2)에서 세 칸을 가면 되고

외분점은 B(9)에서 전체의 반을 가면 됩니다.

고딩공식으로 풀어보면

내분점은

외분점은

문제4)

두 점 A(2), B(9)를 1:3으로 내분하는 점과 외분하는 점은?

초딩식으로 풀어보면

전체를 4로 나누면 한칸의 길이는

내분점은 A(2)에서 한칸만 가면 되고

외분점은 A(2)에서 전체의 반을 빼면 됩니다.

고딩공식으로 풀어보면

내분점은

외분점은

문제5)

두 점 A(2), B(9)를 3:2로 내분하는 점과 외분하는 점은?

초딩식으로 풀어보면

전체를 5로 나누면 한칸의 길이는

내분점은 A(2)에서 세 칸을 가면 되고

외분점은 B(9)에서 전체의 두 배를 가면 됩니다.

고딩공식으로 풀어보면

내분점은

외분점은

문제6)

두 점 A(2), B(9)를 2:3으로 내분하는 점과 외분하는 점은?

초딩식으로 풀어보면

전체를 5로 나누면 한칸의 길이는

내분점은 A(2)에서 두 칸을 가면 되고

외분점은 A(2)에서 전체의 두 배를 빼면 됩니다.

고딩공식으로 풀어보면

내분점은

외분점은

요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html

다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.

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수학 공식 | 고등학교 > 내분점과 외분점

수직선 위의 두 점 $ {A}(x_1) $, $ {B}(x_2) $에 대하여

1. 내분점

$ {A}(x_1) $, $ {B}(x_2) $, $ x_1 < x_2 $일 때 선분 $ {AB} $를 $ m:n $ ($ m>0 $, $ n>0 $)으로 내분하는 점을 $ P(x) $라 하자.

$ \overline{AP}=x-x_1 $, $ \overline{PB}=x_2-x $이므로, 점 $ P $의 좌표는

\begin{align*}

(x-x_1):(x_2-x)=m:n \ \ \ \therefore \ \ x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}

\end{align*}

같은 방법으로 하면 $ x_1 > x_2 $일 때도 결과는 같다.

2. 외분점

$ {A}(x_1) $, $ {B}(x_2) $, $ x_1 < x_2 $일 때 선분 $ {AB} $를 $ m:n $ ($ m>0 $, $ n>0 $, $ m

eq n $)으로 외분하는 점을 $ {Q}(x) $라 하자.

$ m > n $일 때 $ \overline{AQ}=x-x_1 $, $ \overline{BQ}=x-x_2 $이므로, 점 $ {Q} $의 좌표는

\begin{align*}

(x-x_1):(x-x_2)=m:n \ \ \ \therefore \ \ x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}

\end{align*}

$ m < n $일 때 $ \overline{AQ}=x_1-x $, $ \overline{BQ}=x_2-x $이므로, 점 $ {Q} $의 좌표는 \begin{align*} (x_1-x):(x_2-x)=m:n \ \ \ \therefore \ \ x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n} \end{align*} 같은 방법으로 하면 $ x_1 > x_2 $일 때도 결과는 같다.

3. 중점

내분점에서 $ m=n $일 때의 점 $ {P} $를 선분 $ {AB} $의 중점이라고 한다.

\begin{align*}

x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}=\frac{mx_2+mx_1}{m+m} = \frac{x_1+x_2}{2}

\end{align*}

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